Was ist der Binomialkoeffizient?
Der Binomialkoeffizient – gesprochen „n über k" – ist ein zentraler Begriff der Kombinatorik. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten mank Elemente aus einer Menge von n Elementen auswählen kann, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Die mathematische Notation ist (n über k) oder C(n,k). Im Englischen spricht man von „n choose k" oder dem „binomial coefficient".
Binomialkoeffizient Formel
Die Berechnungsformel lautet:
(n über k) = n! / (k! × (n-k)!)
Dabei ist n! die Fakultät von n, also das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n
Rechenbeispiel
(5 über 2) – Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Karten aus 5 zu ziehen?
- n = 5, k = 2
- 5! = 120
- 2! = 2
- (5-2)! = 3! = 6
- (5 über 2) = 120 / (2 × 6) = 120 / 12 = 10
Das Pascalsche Dreieck
Das Pascalsche Dreieck ist eine geometrische Anordnung aller Binomialkoeffizienten. Jede Zeile n enthält die Werte (n über 0) bis (n über n):
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1Bildungsregel: Jede Zahl ist die Summe der beiden darüberliegenden Zahlen. Diese Eigenschaft führt zur rekursiven Formel:
(n über k) = (n-1 über k-1) + (n-1 über k)
Wichtige Eigenschaften
- Symmetrie: (n über k) = (n über n-k)
- Randwerte: (n über 0) = (n über n) = 1
- Summe einer Zeile: Die Summe aller Binomialkoeffizienten der n-ten Zeile ist 2ⁿ
- Identität: (n über 1) = n
Anwendungen des Binomialkoeffizienten
Kombinatorik
Die Grundanwendung: „Auf wie viele Arten kann man k Objekte aus n auswählen?" Beispiel: Aus 49 Lotto-Zahlen 6 ziehen → (49 über 6) = 13.983.816 Kombinationen.
Binomische Formel
Der Binomialkoeffizient erscheint bei der Entwicklung von (a + b)ⁿ:
(a + b)ⁿ = Σ (n über k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ
Wahrscheinlichkeitsrechnung
In der Binomialverteilung gibt der Binomialkoeffizient an, wie viele Möglichkeiten es für k Erfolge bei n Versuchen gibt.
Informatik
Binomialkoeffizienten werden in Algorithmen für Teilmengen, Kombinationen und bei der Analyse von Datenstrukturen wie Binomial-Heaps verwendet.
Häufig gestellte Fragen
Was ist (0 über 0)?
(0 über 0) = 1 nach Konvention. Es gibt genau eine Möglichkeit, 0 Elemente aus 0 Elementen auszuwählen: die leere Auswahl.
Was passiert wenn k größer als n ist?
Wenn k > n, ist (n über k) = 0. Man kann nicht mehr Elemente auswählen, als vorhanden sind.
Kann ich den Binomialkoeffizienten für große Zahlen berechnen?
Ja, unser Rechner unterstützt auch große Werte. Für sehr große Zahlen empfiehlt sich die Näherungsformel mit der Stirling-Approximation oder logarithmische Berechnung.
Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Permutation?
Bei einer Kombination spielt die Reihenfolge keine Rolle – hier verwendet man den Binomialkoeffizienten. Bei einer Permutation ist die Reihenfolge wichtig – die Anzahl ist dann k! × (n über k).