Arten von Mittelwerten
Arithmetisches Mittel
Der häufigste „Durchschnitt":
x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n Beispiel: Noten 2, 3, 1, 4, 2 x̄ = (2+3+1+4+2) / 5 = 12/5 = 2,4
Median (Zentralwert)
Der mittlere Wert einer sortierten Reihe:
Ungerade Anzahl: 1, 3, 5, 7, 9 → Median = 5 Gerade Anzahl: 2, 4, 6, 8 → Median = (4+6)/2 = 5
Modus (Modalwert)
Der häufigste Wert:
1, 2, 2, 3, 2, 4 → Modus = 2 1, 2, 3, 4, 5 → kein Modus (alle gleich häufig)
Mittelwert vs. Median
Beispiel mit Ausreißer:
| Gehälter | Mittelwert | Median |
|---|---|---|
| 30k, 35k, 40k, 45k, 50k | 40.000 € | 40.000 € |
| 30k, 35k, 40k, 45k, 500k | 130.000 € | 40.000 € |
Der Median ist robuster gegen Ausreißer – daher bei Gehaltsstatistiken oft aussagekräftiger.
Weitere Mittelwerte
Gewichteter Durchschnitt
Noten mit Gewichtung: Klausur (60%): 2,0 Mündlich (40%): 1,5 Durchschnitt = 2,0×0,6 + 1,5×0,4 = 1,8
Geometrisches Mittel
Für Wachstumsraten und Renditen:
√(x₁ × x₂ × ... × xₙ) Renditen: +10%, -5%, +15% = ³√(1,10 × 0,95 × 1,15) - 1 ≈ 6,3%
Harmonisches Mittel
Für Geschwindigkeiten und Raten:
n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ) Hinfahrt 60 km/h, Rückfahrt 40 km/h = 2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/h
Weitere Kennzahlen
- Spannweite: Maximum − Minimum
- Varianz: Durchschnittliche quadratische Abweichung
- Standardabweichung: √Varianz
- Quartile: Q1, Q2 (Median), Q3 teilen in 4 Teile
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich den Notendurchschnitt?
Einfach: Alle Noten addieren, durch Anzahl teilen. Gewichtet: Note × Gewicht für jedes Fach, dann Summe durch Gesamtgewicht.
Kann der Durchschnitt außerhalb der Werte liegen?
Beim arithmetischen Mittel: Nein, er liegt immer zwischen kleinstem und größtem Wert. Bei anderen Mittelwerten kann es Ausnahmen geben.
Welchen Durchschnitt sollte ich verwenden?
Arithmetisch für die meisten Fälle. Median bei Ausreißern (Einkommen). Geometrisch für Wachstumsraten. Harmonisch für Geschwindigkeiten.