Was ist die inverse Matrix?
Die inverse Matrix A⁻¹ einer Matrix A ist das multiplikative Inverse: A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I (Einheitsmatrix). Sie „macht" die Multiplikation mit A rückgängig, ähnlich wie 1/x die Multiplikation mit x umkehrt.
Nicht jede Matrix hat eine Inverse. Voraussetzungen: Die Matrix mussquadratisch sein (gleich viele Zeilen und Spalten) und die Determinante muss ungleich Null sein. Matrizen mit Determinante 0 heißen singulär und sind nicht invertierbar.
Inverse einer 2×2 Matrix
Für eine 2×2 Matrix gibt es eine einfache Formel. Sei A = [[a,b],[c,d]], dann ist A⁻¹ = (1/det(A)) × [[d,-b],[-c,a]], wobei det(A) = ad - bc die Determinante ist.
Beispiel: A = [[4,7],[2,6]]. Determinante: 4×6 - 7×2 = 10. Inverse: A⁻¹ = (1/10) × [[6,-7],[-2,4]] = [[0.6,-0.7],[-0.2,0.4]]. Zur Probe: A × A⁻¹ ergibt die Einheitsmatrix.
Das Gauß-Jordan-Verfahren
Für größere Matrizen (3×3, 4×4 und mehr) verwendet man dasGauß-Jordan-Verfahren. Die Idee: Man schreibt die Matrix A und die Einheitsmatrix I nebeneinander: [A|I].
Durch erlaubte Zeilenoperationen (Zeilen vertauschen, mit Konstante multiplizieren, Vielfaches einer Zeile zu anderer addieren) formt man die linke Seite zur Einheitsmatrix um. Die rechte Seite ist dann automatisch A⁻¹: [I|A⁻¹].
Die Determinante
Die Determinante ist ein Schlüsselwert für die Invertierbarkeit. Ist det(A) = 0, existiert keine Inverse. Die Determinante zeigt auch, ob die Zeilen/Spalten linear unabhängig sind.
2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.3×3: Regel von Sarrus oder Laplace-Entwicklung. Für größere Matrizen: rekursive Entwicklung nach Zeile/Spalte.
Anwendungen der inversen Matrix
Gleichungssysteme lösen: Das System Ax = b kann durch x = A⁻¹b gelöst werden. Praktisch für mehrere Gleichungssysteme mit derselben Matrix A aber verschiedenen b.
Transformationen: In der Computergrafik beschreiben Matrizen Drehungen, Skalierungen und Verschiebungen. Die Inverse macht diese Transformationen rückgängig.
Kryptographie: Die Hill-Chiffre verwendet Matrix- Multiplikation zur Verschlüsselung. Die Entschlüsselung benötigt die inverse Matrix.
Eigenschaften der Inversen
(A⁻¹)⁻¹ = A – die Inverse der Inversen ist wieder A.(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ – Reihenfolge kehrt sich um.(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ – Transponierte und Inverse vertauschen. det(A⁻¹) = 1/det(A).
Hinweis
Bei numerischen Berechnungen können Rundungsfehlerauftreten, besonders bei schlecht konditionierten Matrizen (Determinante nahe 0). Für exakte Ergebnisse in Prüfungen solltest du das Verfahren mit Brüchen durchrechnen. Dieser Rechner zeigt gerundete Dezimalwerte.