Was ist das Skalarprodukt?
Das Skalarprodukt (auch Punktprodukt oder inneres Produkt genannt) ist eine fundamentale Operation der Vektorrechnung. Es ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl (einen Skalar) zu – daher der Name. Das Skalarprodukt wird mit einem Punkt (·) notiert: →a · →b.
Im Englischen heißt das Skalarprodukt dot product oder scalar product. Es ist eine der wichtigsten Operationen in der linearen Algebra, Physik und Computergrafik.
Skalarprodukt Formel
Die algebraische Definition des Skalarprodukts für zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum lautet:
→a · →b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃
Für 2D-Vektoren gilt entsprechend: →a · →b = a₁·b₁ + a₂·b₂
Beispiel: Für →a = (2, 3, 4) und →b = (1, 5, 2):
→a · →b = 2·1 + 3·5 + 4·2 = 2 + 15 + 8 = 25
Geometrische Bedeutung
Die geometrische Definition verknüpft das Skalarprodukt mit dem Winkel zwischen zwei Vektoren:
→a · →b = |→a| · |→b| · cos(θ)
Dabei sind |→a| und |→b| die Beträge (Längen) der Vektoren und θ der eingeschlossene Winkel. Diese Formel ermöglicht die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren:
cos(θ) = (→a · →b) / (|→a| · |→b|)
Eigenschaften des Skalarprodukts
- Kommutativ: →a · →b = →b · →a
- Distributiv: →a · (→b + →c) = →a · →b + →a · →c
- Skalarmultiplikation: (λ·→a) · →b = λ·(→a · →b)
- Positiv definit: →a · →a ≥ 0, wobei →a · →a = 0 nur für →a = →0
- Betrag: |→a|² = →a · →a (der Betrag ergibt sich aus dem Skalarprodukt mit sich selbst)
Orthogonalität prüfen
Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ist:
→a ⊥ →b ⇔ →a · →b = 0
Beispiel: →a = (3, -2) und →b = (2, 3)
→a · →b = 3·2 + (-2)·3 = 6 - 6 = 0 → Die Vektoren stehen senkrecht zueinander.
Anwendungen des Skalarprodukts
- Winkelberechnung: Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren oder Geraden
- Projektion: Berechnung der Projektion eines Vektors auf einen anderen
- Arbeit (Physik): W = →F · →s (Kraft mal Weg)
- Computergrafik: Beleuchtungsberechnung, Oberflächenreflexion
- Machine Learning: Ähnlichkeitsmaße, Kosinus-Ähnlichkeit
Skalarprodukt vs. Kreuzprodukt
Das Skalarprodukt liefert eine Zahl und misst die „Gleichgerichtetheit" zweier Vektoren. Das Kreuzprodukt hingegen liefert einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht, und existiert nur im 3D-Raum.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Multiplizieren Sie die jeweiligen Komponenten der Vektoren miteinander und addieren Sie alle Produkte. Für →a = (1, 2, 3) und →b = (4, 5, 6): 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32.
Was sagt das Vorzeichen des Skalarprodukts aus?
Ein positives Skalarprodukt bedeutet, dass der Winkel zwischen den Vektoren kleiner als 90° ist (spitzer Winkel). Ein negatives Ergebnis zeigt einen Winkel größer als 90° an (stumpfer Winkel). Bei nullstehen die Vektoren senkrecht zueinander.
Kann das Skalarprodukt für mehr als 3 Dimensionen berechnet werden?
Ja, das Skalarprodukt ist für beliebig viele Dimensionen definiert. Für n-dimensionale Vektoren werden einfach alle n Komponentenprodukte aufsummiert.
Was ist der Unterschied zwischen Skalarprodukt und inneres Produkt?
In endlichdimensionalen reellen Vektorräumen sind Skalarprodukt und inneres Produkt dasselbe. Das innere Produkt ist die allgemeinere mathematische Definition, die auch für komplexe Zahlen und unendlichdimensionale Räume gilt.