Was ist ein Logarithmus?
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion des Potenzierens. Wenn ax = b, dann ist loga(b) = x. Der Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welchem Exponenten muss ich a potenzieren, um b zu erhalten?"
Beispiel: log2(8) = 3, denn 2³ = 8
Wichtige Logarithmen
Natürlicher Logarithmus (ln)
ln(x) = loge(x) zur Basis e ≈ 2,71828 (Eulersche Zahl). Der wichtigste Logarithmus in der Mathematik, Physik und Naturwissenschaften. Die Ableitung von ln(x) ist 1/x.
Dekadischer Logarithmus (log₁₀, lg)
lg(x) = log10(x) zur Basis 10. Praktisch für Größenordnungen: lg(1000) = 3. Verwendet in Dezibel, pH-Wert, Richter-Skala.
Binärer Logarithmus (log₂, ld)
log2(x) zur Basis 2. Wichtig in der Informatik: Gibt an, wie viele Bits für eine Zahl benötigt werden. log₂(256) = 8.
Logarithmusgesetze
- Produktregel: log(a·b) = log(a) + log(b)
- Quotientenregel: log(a/b) = log(a) - log(b)
- Potenzregel: log(aⁿ) = n · log(a)
- Basiswechsel: loga(x) = logb(x) / logb(a)
Wichtige Werte
- loga(1) = 0 (für alle a, denn a⁰ = 1)
- loga(a) = 1 (denn a¹ = a)
- ln(e) = 1
- lg(10) = 1
- ln(1) = 0
- Logarithmen negativer Zahlen existieren nicht (im Reellen)
Anwendungen
- Exponentielles Wachstum: Verdoppelungszeit, Halbwertszeit
- Dezibel: dB = 10 · lg(P₁/P₀)
- pH-Wert: pH = -lg([H⁺])
- Richter-Skala: Logarithmische Erdbebenstärke
- Komplexität: O(log n) Algorithmen
- Informationstheorie: Entropie, Datenkompression
Häufig gestellte Fragen
Warum ist log(0) undefiniert?
Es gibt keine Zahl x, sodass ax = 0 (für a > 0). Exponentialfunktionen nähern sich der Null asymptotisch, erreichen sie aber nie. Daher ist log(0) = -∞.
Was bedeutet log ohne Basis?
Das hängt vom Kontext ab! In der Mathematik oft ln (Basis e). In Technik und Taschenrechnern meist lg (Basis 10). In der Informatik häufig log₂.
Wie berechne ich log₅(125) ohne speziellen Rechner?
Mit der Basiswechselformel: log₅(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828 / 1,609 ≈ 3. Oder: 125 = 5³, also log₅(125) = 3.