Was ist der Z-Wert?
Der Z-Wert (auch Z-Score, Standardwert oder z-transformierter Wert) ist ein Maß dafür, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert einer Verteilung entfernt liegt. Er ermöglicht den Vergleich von Werten aus unterschiedlichen Verteilungen.
Ein Z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert exakt am Mittelwert liegt. Ein Z-Wert von +1 bedeutet eine Standardabweichung über dem Mittelwert, -2 bedeutet zwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert.
Die Z-Wert-Formel
Die Berechnung des Z-Werts ist einfach: Z = (X - μ) / σ
Dabei ist X dein Messwert, μ (my) der Mittelwert der Verteilung und σ (sigma) die Standardabweichung. Der Z-Wert ist dimensionslos – er hat keine Einheit.
Beispiel IQ-Test: Der IQ hat einen Mittelwert von 100 und eine Standardabweichung von 15. Bei einem IQ von 130 ergibt sich: Z = (130 - 100) / 15 = 2,0. Das bedeutet: Der IQ liegt zwei Standardabweichungen über dem Durchschnitt.
Z-Wert und Perzentil
Bei einer Normalverteilung lässt sich aus dem Z-Wert das Perzentil ablesen. Das Perzentil gibt an, welcher Prozentsatz der Werte kleiner ist als der betrachtete Wert.
Wichtige Z-Wert-Perzentil-Paare: Z = -2 → 2,3% (2. Perzentil),Z = -1 → 15,9% (16. Perzentil), Z = 0 → 50% (Median), Z = +1 → 84,1% (84. Perzentil),Z = +2 → 97,7% (98. Perzentil).
Anwendungsgebiete
Psychologie: IQ-Tests, Persönlichkeitstests und andere psychometrische Verfahren verwenden Z-Werte zur Normierung. Ein Z-Wert zeigt sofort, ob jemand über- oder unterdurchschnittlich abschneidet.
Statistik: Z-Werte werden für Hypothesentests (Z-Test), Konfidenzintervalle und zur Identifikation von Ausreißern verwendet. Werte mit |Z| über 2-3 gelten oft als ungewöhnlich.
Qualitätskontrolle: In der Produktion zeigen Z-Werte, ob Messwerte innerhalb der Toleranz liegen. Six Sigma zielt auf einen Z-Wert von 6 zwischen Mittelwert und Toleranzgrenze.
Die Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung ist eine Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Durch die Z-Transformation wird jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführt.
Das ist praktisch, weil es nur eine Tabelle für alle Normalverteilungen braucht. Die Wahrscheinlichkeiten und Perzentile können direkt aus der Z-Tabelle (oder unserem Rechner) abgelesen werden.
Interpretation der Ergebnisse
|Z| unter 1: Wert liegt im „normalen" Bereich (ca. 68% aller Werte). |Z| zwischen 1 und 2: Überdurchschnittlich, aber nicht ungewöhnlich. |Z| über 2: Deutlich vom Durchschnitt abweichend (nur ca. 5% der Werte). |Z| über 3:Extrem selten (unter 0,3% der Werte).
Hinweis
Der Z-Wert setzt eine Normalverteilung der Daten voraus. Bei stark schiefen oder anders verteilten Daten ist die Interpretation der Perzentile nicht korrekt. Für solche Fälle gibt es andere statistische Methoden wie den T-Test oder nicht-parametrische Verfahren.