Was ist ein Integral?
Das Integral ist ein fundamentales Konzept der Analysis und die Umkehrung der Differentiation. Anschaulich berechnet das bestimmte Integral dieFläche unter einer Kurve.
Die Notation ∫ (langgezogenes S) stammt von Leibniz und steht für „Summe" – das Integral summiert unendlich viele infinitesimal kleine Flächenstreifen.
Grundlegende Integrationsregeln
Potenzregel
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C (für n ≠ -1)
Beispiel: ∫ x³ dx = x⁴/4 + C
Wichtige Stammfunktionen
- ∫ 1 dx = x + C
- ∫ x dx = x²/2 + C
- ∫ 1/x dx = ln|x| + C
- ∫ eˣ dx = eˣ + C
- ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
- ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
- ∫ 1/(1+x²) dx = arctan(x) + C
Rechenregeln
- Faktorregel: ∫ c·f(x) dx = c · ∫ f(x) dx
- Summenregel: ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
Bestimmtes Integral berechnen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Stammfunktion und bestimmtes Integral:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Beispiel: ∫[0,2] x² dx
- Stammfunktion: F(x) = x³/3
- Einsetzen: F(2) - F(0) = 8/3 - 0 = 8/3
Integrationstechniken
- Substitution: Für verkettete Funktionen, z.B. ∫ 2x·eˣ² dx
- Partielle Integration: ∫ u·v' dx = u·v - ∫ u'·v dx
- Partialbruchzerlegung: Für rationale Funktionen
Anwendungen
- Flächenberechnung: Fläche zwischen Kurven und Achsen
- Volumenberechnung: Rotationskörper
- Physik: Weg aus Geschwindigkeit, Arbeit aus Kraft
- Wahrscheinlichkeit: Verteilungsfunktionen
- Statistik: Erwartungswerte, Varianzen
Häufig gestellte Fragen
Wann kann ich +C weglassen?
Bei bestimmten Integralen hebt sich C weg (erscheint bei F(b) und F(a)). Bei unbestimmten Integralen muss C immer angegeben werden.
Was wenn die Fläche negativ ist?
Liegt die Kurve unter der x-Achse, ergibt das bestimmte Integral einen negativen Wert. Für die tatsächliche Fläche müssen Sie den Betrag nehmen oder das Integral an den Nullstellen aufteilen.
Kann jede Funktion integriert werden?
Nicht jede Funktion hat eine geschlossene Stammfunktion (z.B. eˣ², sin(x)/x). Numerische Integration (Simpson, Trapez) liefert dann Näherungswerte.