Was ist eine Stammfunktion?
Die Stammfunktion (auch Antiderivative genannt) ist die Umkehroperation der Ableitung. Wenn F(x) die Stammfunktion von f(x) ist, dann gilt: F'(x) = f(x). Man schreibt die Stammfunktion als unbestimmtes Integral: F(x) = ∫f(x)dx.
Das Finden der Stammfunktion wird auch als Integration oderAufleitung bezeichnet. Im Gegensatz zur Ableitung, die nach festen Regeln erfolgt, erfordert Integration oft Erfahrung und Kreativität, da nicht jede Funktion eine elementare Stammfunktion besitzt.
Die wichtigsten Integrationsregeln
Die Potenzregel ist die grundlegendste Integrationsregel: ∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C für n ≠ -1. Man erhöht den Exponenten um 1 und dividiert durch den neuen Exponenten. Für n = -1 gilt die Sonderregel: ∫x⁻¹ dx = ∫1/x dx = ln|x| + C.
Exponentialfunktionen integrieren sich fast selbst: ∫eˣ dx = eˣ + C. Die e-Funktion ist die einzige Funktion, die mit ihrer Stammfunktion identisch ist. Für andere Basen gilt: ∫aˣ dx = aˣ/ln(a) + C.
Trigonometrische Funktionen
Die Stammfunktionen der trigonometrischen Funktionen sind eng miteinander verknüpft: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C und ∫cos(x) dx = sin(x) + C. Das negative Vorzeichen beim Sinus ist ein häufiger Fehler bei Anfängern.
Für den Tangens gilt: ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C. Die Integration komplexerer trigonometrischer Ausdrücke erfordert oft Substitution oder partielle Integration.
Die Integrationskonstante C
Jede Stammfunktion enthält eine Integrationskonstante C. Der Grund: Die Ableitung einer Konstanten ist immer 0. Daher sind F(x) = x² + 5 und F(x) = x² - 100 beide gültige Stammfunktionen von f(x) = 2x, da beide nach Ableitung 2x ergeben.
Bei bestimmten Integralen (mit Grenzen) hebt sich die Konstante auf und wird nicht benötigt. Sie ist nur beim unbestimmten Integral relevant, um die allgemeine Lösung darzustellen.