Was ist das Pascalsche Dreieck?
Das Pascalsche Dreieck ist eine der faszinierendsten mathematischen Strukturen. Es ist eine dreieckige Anordnung von Zahlen, bei der jede Zahl die Summe der beiden darüberstehenden Zahlen ist. Die Ränder bestehen durchgehend aus Einsen.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1Konstruktion des Dreiecks
Das Pascalsche Dreieck wird nach folgenden Regeln aufgebaut:
- Die erste Zeile besteht nur aus einer 1
- Jede weitere Zeile beginnt und endet mit einer 1
- Jede andere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen direkt darüber
Beispiel: In Zeile 5 ist die 6 = 3 + 3 (die beiden Dreien aus Zeile 4)
Binomialkoeffizienten im Dreieck
Das Pascalsche Dreieck enthält alle Binomialkoeffizienten. Die Zahl in Zeile n (beginnend bei 0), Position k ist genau (n über k):
- Zeile 4, Position 2: 6 = (4 über 2) = 4!/(2!×2!) = 6
- Zeile 5, Position 3: 10 = (5 über 3) = 5!/(3!×2!) = 10
Verborgene Muster
Zweierpotenzen
Die Summe jeder Zeile n ist 2ⁿ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Fibonacci-Folge
Addiert man die Diagonalen von rechts oben nach links unten, erhält man die Fibonacci-Zahlen.
Dreiecks- und Tetraederzahlen
Die dritte Diagonale enthält die Dreieckszahlen: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Anwendungen
- Binomische Formeln: Koeffizienten für (a+b)ⁿ
- Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung
- Kombinatorik: Anzahl der k-Kombinationen aus n Elementen
- Informatik: Algorithmen, Graphentheorie
Häufig gestellte Fragen
Wie groß kann das Dreieck werden?
Theoretisch unendlich. Unser Generator zeigt bis zu 20 Zeilen übersichtlich an.
Warum heißt es Pascalsches Dreieck?
Benannt nach Blaise Pascal (1623–1662), der es systematisch untersuchte. In China heißt es „Yang-Hui-Dreieck", in Iran „Khayyam-Dreieck" – es war in vielen Kulturen bekannt.