Was ist die Fibonacci-Folge?
Die Fibonacci-Folge ist eine der bekanntesten Zahlenfolgen der Mathematik. Sie wurde nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci (ca. 1170–1240) benannt, der sie im Jahr 1202 in seinem Buch „Liber Abaci" beschrieb. Die Folge beginnt mit 0 und 1, und jede weitere Zahl ist die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen.
Die ersten 20 Fibonacci-Zahlen:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181
Die Fibonacci-Formel
Die mathematische Definition der Fibonacci-Folge lautet:
- F(0) = 0 (erste Zahl)
- F(1) = 1 (zweite Zahl)
- F(n) = F(n-1) + F(n-2) für alle n > 1
Beispiel: F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8
Es existiert auch die Formel von Binet, mit der man die n-te Fibonacci-Zahl direkt berechnen kann, ohne alle vorherigen Zahlen zu kennen:
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, wobei φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 und ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0,618
Der Goldene Schnitt und Fibonacci
Der Goldene Schnitt (griechisch: φ, Phi) ist eng mit der Fibonacci-Folge verbunden. Wenn man zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen durcheinander teilt, nähert sich das Ergebnis immer mehr dem Goldenen Schnitt an:
- 8 ÷ 5 = 1,600
- 13 ÷ 8 = 1,625
- 21 ÷ 13 = 1,615...
- 144 ÷ 89 = 1,6179...
- φ = 1,6180339887...
Der Goldene Schnitt gilt als besonders ästhetisch und findet sich in Kunst, Architektur und Design wieder – vom Parthenon bis zum Apple-Logo.
Fibonacci in der Natur
Die Fibonacci-Folge erscheint erstaunlich oft in der Natur:
- Blütenblätter: Lilien haben 3, Butterblumen 5, Margeriten 34 oder 55 Blütenblätter
- Spiralen: Sonnenblumenkerne, Tannenzapfen und Ananas zeigen Fibonacci-Spiralen
- Schneckenhaus: Die logarithmische Spirale folgt dem Goldenen Schnitt
- Baumverzweigungen: Äste teilen sich oft nach Fibonacci-Mustern
- Kaninchenpopulation: Fibonaccis ursprüngliches Problem beschrieb Kaninchenvermehrung
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die n-te Fibonacci-Zahl?
Nutzen Sie unseren Rechner oben und wählen Sie „N-te Fibonacci-Zahl". Geben Sie die gewünschte Position ein (z.B. 10) und erhalten Sie sofort das Ergebnis (F(10) = 55). Für große Zahlen verwendet der Rechner effiziente Algorithmen.
Ist 144 eine Fibonacci-Zahl?
Ja, 144 ist die 12. Fibonacci-Zahl (F(12) = 144). Sie können mit unserem Prüfer oben testen, ob eine beliebige Zahl zur Fibonacci-Folge gehört.
Wofür werden Fibonacci-Zahlen in der Informatik verwendet?
In der Informatik finden Fibonacci-Zahlen vielfältige Anwendung: bei Fibonacci-Heaps (Datenstrukturen), Fibonacci-Suche (Suchalgorithmus), Analyse von Algorithmen-Laufzeiten und in der Kryptographie. Auch Agile Teams nutzen Fibonacci-Zahlen beim Planning Poker.
Wie hängen Fibonacci und Lucas-Zahlen zusammen?
Lucas-Zahlen folgen der gleichen Regel (L(n) = L(n-1) + L(n-2)), starten aber mit 2 und 1 statt 0 und 1. Es gilt: L(n) = F(n-1) + F(n+1).