Was ist die Primfaktorzerlegung?
Die Primfaktorzerlegung (auch Primfaktorisierung genannt) ist die Darstellung einer natürlichen Zahl als Produkt von Primzahlen. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist diese Zerlegung eindeutig – jede Zahl hat genau eine Primfaktorzerlegung.
Beispiel: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
Was sind Primzahlen?
Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Sie sind die „Bausteine" aller anderen Zahlen.
Die ersten 25 Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Merke: 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen Primzahlen sind ungerade.
Anleitung zur Primfaktorzerlegung
So zerlegen Sie eine Zahl in Primfaktoren:
- Prüfen Sie, ob die Zahl durch 2 teilbar ist. Wenn ja, teilen Sie.
- Wiederholen Sie mit 2, bis nicht mehr teilbar.
- Gehen Sie zur nächsten Primzahl (3) und wiederholen.
- Weiter mit 5, 7, 11, 13, ... bis das Ergebnis 1 ist.
Beispiel: 360
- 360 ÷ 2 = 180
- 180 ÷ 2 = 90
- 90 ÷ 2 = 45
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
Ergebnis: 360 = 2³ × 3² × 5
Teilbarkeitsregeln
Um schneller zu prüfen, durch welche Primzahl teilbar:
- Durch 2: Letzte Ziffer ist gerade (0, 2, 4, 6, 8)
- Durch 3: Quersumme durch 3 teilbar
- Durch 5: Endet auf 0 oder 5
- Durch 7: Verdoppelte letzte Ziffer von Rest abziehen, prüfen
- Durch 11: Alternierende Quersumme durch 11 teilbar
Anwendungen der Primfaktorzerlegung
- ggT und kgV: Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen
- Bruchrechnung: Kürzen von Brüchen
- Kryptographie: RSA-Verschlüsselung basiert auf der Schwierigkeit, große Zahlen zu faktorisieren
- Teilbarkeit: Alle Teiler einer Zahl finden
Häufig gestellte Fragen
Ist 1 eine Primzahl?
Nein, 1 ist keine Primzahl. Per Definition muss eine Primzahl genau zwei verschiedene Teiler haben (1 und sich selbst). Die 1 hat nur einen Teiler – sich selbst.
Kann man jede Zahl in Primfaktoren zerlegen?
Ja, jede natürliche Zahl größer als 1 kann eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden. Primzahlen selbst sind bereits „in Primfaktoren zerlegt" (nur sich selbst).
Wie findet man alle Teiler einer Zahl?
Aus der Primfaktorzerlegung: Bilden Sie alle möglichen Kombinationen der Primfaktoren. Für 12 = 2² × 3 sind die Teiler: 1, 2, 4, 3, 6, 12.