GGT und KGV Rechner

Was ist der GGT (Größter gemeinsamer Teiler)?

Der größte gemeinsame Teiler (GGT) zweier oder mehrerer Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind.

Beispiel: Der GGT von 12 und 18 ist 6, weil 6 die größte Zahl ist, die sowohl 12 als auch 18 teilt (12 ÷ 6 = 2, 18 ÷ 6 = 3).

Was ist das KGV (Kleinstes gemeinsames Vielfaches)?

Das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) zweier oder mehrerer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Beispiel: Das KGV von 12 und 18 ist 36, weil 36 die kleinste Zahl ist, die durch 12 und durch 18 teilbar ist (36 ÷ 12 = 3, 36 ÷ 18 = 2).

GGT berechnen: Methoden

1. Euklidischer Algorithmus

Der Euklidische Algorithmus ist eine effiziente Methode zur Berechnung des GGT. Man dividiert die größere Zahl durch die kleinere und ersetzt dann die größere Zahl durch den Rest. Dies wird wiederholt, bis der Rest 0 ist.

Beispiel für GGT(48, 18):

• 48 = 2 × 18 + 12
• 18 = 1 × 12 + 6
• 12 = 2 × 6 + 0
• GGT = 6

2. Primfaktorzerlegung

Man zerlegt beide Zahlen in ihre Primfaktoren und multipliziert die gemeinsamen Primfaktoren mit der jeweils kleinsten Potenz.

Beispiel für GGT(12, 18):

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• GGT = 2¹ × 3¹ = 6

KGV berechnen: Methoden

1. Über den GGT

Die einfachste Methode nutzt die Formel: KGV(a, b) = (a × b) ÷ GGT(a, b)

Beispiel für KGV(12, 18):

• GGT(12, 18) = 6
• KGV = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36

2. Primfaktorzerlegung

Man zerlegt beide Zahlen in ihre Primfaktoren und multipliziert alle Primfaktoren mit der jeweils höchsten Potenz.

Beispiel für KGV(12, 18):

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• KGV = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Anwendungen von GGT und KGV

GGT in der Praxis

• Brüche kürzen: Um einen Bruch zu kürzen, teilt man Zähler und Nenner durch ihren GGT
• Aufteilen: Wie kann man z.B. 24 Äpfel und 18 Birnen gleichmäßig verteilen?
• Geometrie: Größte quadratische Fliesen für einen rechteckigen Raum

KGV in der Praxis

• Bruchrechnung: Gemeinsamen Nenner finden
• Periodische Ereignisse: Wann treffen sich zwei Busse wieder, die alle 12 bzw. 18 Minuten fahren? Nach 36 Minuten (KGV)
• Zahnräder: Nach wie vielen Umdrehungen sind zwei Zahnräder wieder synchron?

Teilerfremde Zahlen

Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr GGT gleich 1 ist. Das bedeutet, sie haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1. Beispiel: 8 und 15 sind teilerfremd (GGT = 1).

Bei teilerfremden Zahlen gilt: KGV(a, b) = a × b

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der GGT von Primzahlen?

Zwei verschiedene Primzahlen haben immer den GGT 1, da Primzahlen nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.

Kann der GGT größer sein als eine der Zahlen?

Nein, der GGT ist immer kleiner oder gleich der kleinsten der gegebenen Zahlen.

Wie berechnet man GGT und KGV für mehr als zwei Zahlen?

Man berechnet zunächst den GGT/KGV der ersten beiden Zahlen und dann den GGT/KGV dieses Ergebnisses mit der dritten Zahl, und so weiter.