Was ist eine Quersumme?
Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller ihrer Ziffern. Sie ist ein wichtiges Werkzeug für Teilbarkeitsregeln und Prüfziffernberechnungen.
Beispiel: Quersumme von 12345 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Arten von Quersummen
Einfache Quersumme
Alle Ziffern einmal addieren:
Q(12345) = 1+2+3+4+5 = 15 Q(99999) = 9+9+9+9+9 = 45
Iterierte (einstellige) Quersumme
Quersumme wiederholen, bis einstellig:
12345 → 15 → 6 99999 → 45 → 9 98765 → 35 → 8
Alternierende Quersumme
Von rechts abwechselnd addieren und subtrahieren:
1234 → 4-3+2-1 = 2 54321 → 1-2+3-4+5 = 3
Teilbarkeitsregeln mit Quersumme
- Durch 3: Quersumme durch 3 teilbar → Zahl durch 3 teilbar
- Durch 9: Quersumme durch 9 teilbar → Zahl durch 9 teilbar
- Durch 11: Alternierende Quersumme durch 11 teilbar
Beispiele
123 → Q=6 → durch 3 teilbar ✓ (123÷3=41) 234 → Q=9 → durch 9 teilbar ✓ (234÷9=26) 121 → AQ=1-2+1=0 → durch 11 teilbar ✓
Anwendungen
- Prüfziffern: ISBN, EAN, IBAN verwenden Quersummen-Prinzipien
- Schnellrechnen: Teilbarkeit ohne Division prüfen
- Numerologie: „Lebenszahl" = iterierte Quersumme des Geburtsdatums
- Kontrollrechnungen: Ergebnis plausibilisieren
Quersumme in der Programmierung
// JavaScript
function quersumme(n) {
return String(n)
.split('')
.reduce((sum, d) => sum + Number(d), 0);
}
// Python
def quersumme(n):
return sum(int(d) for d in str(n))Häufig gestellte Fragen
Hat jede Zahl die gleiche iterierte Quersumme?
Nein, aber Zahlen mit gleicher iterierter Quersumme haben Ähnlichkeiten: Sie haben bei Division durch 9 den gleichen Rest (Kongruenz modulo 9).
Was ist die maximale Quersumme einer n-stelligen Zahl?
9 × n, wenn alle Ziffern 9 sind. Eine 5-stellige Zahl hat maximal Quersumme 45 (99999).
Gibt es negative Quersummen?
Normalerweise nein – das Vorzeichen wird ignoriert. Aber die alternierende Quersumme kann negativ sein, z.B. bei 1000: 0-0+0-1 = -1.