Was ist die Poisson-Verteilung?
Die Poisson-Verteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik. Sie beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, dass in einem festen Zeitintervall oder Raumbereich eine bestimmte Anzahl von Ereignissen eintritt.
Benannt nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson, wird diese Verteilung besonders für seltene Ereignisse verwendet. Typische Anwendungen sind: Anzahl der Anrufe in einem Callcenter pro Stunde, Verkehrsunfälle pro Tag, Druckfehler pro Buchseite oder radioaktive Zerfälle.
Der Parameter Lambda (λ)
Die Poisson-Verteilung hat nur einen Parameter: Lambda (λ). Dieser Wert gibt die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit an und ist gleichzeitig Erwartungswert und Varianz der Verteilung.
Ein Lambda von 3 bedeutet beispielsweise: Im Durchschnitt treten 3 Ereignisse pro Beobachtungseinheit auf. Die tatsächliche Anzahl kann aber zwischen 0 und theoretisch unendlich variieren – nur mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten.
Die Poisson-Formel
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse berechnet sich mit der Formel:P(X = k) = (λ^k · e^(-λ)) / k!. Dabei ist e die Eulersche Zahl (≈ 2,718) und k! die Fakultät von k.
Für kumulative Wahrscheinlichkeiten wie P(X ≤ k) („höchstens k") werden alle Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k aufsummiert.P(X ≥ k) („mindestens k") berechnet sich als 1 - P(X ≤ k-1).
Poisson als Approximation der Binomialverteilung
Die Poisson-Verteilung kann als Grenzwert der Binomialverteilungverstanden werden, wenn n groß und p klein ist (n → ∞, p → 0), wobei λ = n · p konstant bleibt. Diese Approximation ist praktisch, wenn eine Binomialverteilung mit sehr großem n schwer zu berechnen wäre.
Als Faustregel gilt: Die Poisson-Approximation ist gut, wenn n ≥ 30 und p ≤ 0,05 (oder n · p ≤ 10). In der Praxis bedeutet das: viele Versuche mit geringer Einzelwahrscheinlichkeit.